1．应用解析函数的映射性质时要注意什么问题？

本课程中所列解析函数的映射性质共4条，其中，性质1（定理8.1）与性质2（定理8.2）是对一般解析函数而言的．而性质3（定理8.3）与性质4（定理8.4）是对单叶解析函数来说的．因此，我们使用它们时一定要分清楚．自然，对于性质1与性质2除了“解析”这一条件外，还需要一定的条件，对于性质3与性质4，除了“单叶、解析”外，还要有别的条件，这些“其它的条件”都是不能忽视的，否则将给我们带来困惑．例如，在性质2（定理8.2）中，除解析外，尚需“导数不为零”的条件．

2．讨论分式线性变换的结构时可获得什么启示？

我们在讨论、研究分式线性变换的映射性质时，是依下述思路进行的：先研究其“结构”（由平移、旋转、伸畅或缩短与反演几种变换复合而成），后再由此结构讨论其映射性质． 　　上述思路不仅为我们研究一个较复杂的函数的映射性质提供了一种方法，而且还为寻找一个集合Ｇ的像Ｇ＇提供了一种方法．然而，对于较复杂的函数　w = (z) 来说，若要求集合Ｇ的像Ｇ＇= (Ｇ)，则我们也可以这样做：首先，弄清 w = (z) 是由哪几个函数复合而成，其次，将Ｇ＇看成是Ｇ经过这几个函数连续变换的结果．这样，即可求得Ｇ．

3．已知集Ｇ与函数　w = f(z) 求Ｇ＇= f(Ｇ)有哪些方法？

方法1 ⑴首先，给出 z 与 w 的复数表示式（代数式或指数式）；⑵其次，找出对应规律；⑶确定Ｇ＇= (Ｇ) ． 　　方法2 若Ｇ是区域，设其边界为 c ，则先求 c 的像 c＇（按方法1或特殊方法），然后再由c＇确定Ｇ＇． 　　方法3 根据Ｇ与 (z) 的特殊性，有时可用一些特殊的方法． 　　例如，已知Ｇ为 ，求Ｇ＇= (Ｇ)时，直接取 即可．事实上，当时，有 　　　　　　 　　即Ｇ＇为，这与按方法1、方法2解的结果是相同的． 　　方法4 先弄清函数 (z) 是由哪几个函数复合而成的，然后再将Ｇ经过这几个函数连续变换，便得Ｇ＇= (Ｇ) ．

4．已知 z 平面上的集Ｇ与 w 平面上的集Ｇ＇，求将Ｇ映射为Ｇ＇= f(Ｇ)的变换 w = f(z)有哪些方法？

方法1　构造法． 　　方法2　适当选取“跳板”的方法． 　　方法3　利用（8.11）式．

5．问题3与问题4之间有什么联系？

我们知道，已知Ｇ与Ｇ＇，求将Ｇ映射为Ｇ＇的变换 w = (z) 的问题是保形映射的基本问题．解决此类问题的一个重要方法是适当选取“跳板”，而这些“跳板”主要是通过“求Ｇ＇= (Ｇ) ”问题的解决而获得的．因此，“求Ｇ＇= (Ｇ) ”的问题解决得越多，我们获得的“跳板”也越多，从而对解决“求 w = (z) ”的问题也越方便．并且，一旦求出函数 w = (z) 后，该函数能将Ｇ映射为Ｇ＇的事实又使得该函数成为考虑解决新的求函数Ｇ＇= (z)（将Ｄ映射为Ｄ＇）问题的“跳板”了，从而，增加了新的“跳板”．